Berechnung von Radandrehspuren

Theorie

Die folgende Abbildung zeigt die Bewegung eines beliebigen Punktes auf der Seite eines drehenden Rades:

Der Ursprung des Koordinatensystems liegt im Radzentrum.

Schlupffreies Abrollen

Wir nehmen zunächst schlupffreies Abrollen des Rades an. Zum Zeitpunkt t = 0 befindet sich der Punkt am oberen Totpunkt der Bewegungsbahn auf der y-Achse. Dann gilt:

[math]\displaystyle{ y = r cos(\varphi) }[/math]

[math]\displaystyle{ x = v t + r sin \varphi }[/math]

Der Radumfangsweg v t ergibt sich aus dem Produkt von Drehwinkel und Rollradius

[math]\displaystyle{ x = r_0 \varphi + r sin \varphi }[/math]

Zeichnet das Rad auf einem weiteren Fahrzeug, das sich mit der Geschwindigkeit v₂ bewegt, so gilt

[math]\displaystyle{ x_{rel} = (v - v_2) t + r sin \varphi }[/math]

bzw. mit dem Geschwindigkeitsverhältnis

[math]\displaystyle{ z = \, v_{(1)} / v_2 }[/math]

dann

[math]\displaystyle{ x_{rel} = (1 - 1/z) r_0 \varphi + r sin \varphi }[/math]

Die Herleitung findet sich etwa in "Die Aufklärung des Kfz-Versicherungsbetrugs".
Es sind

• r: der Radius des betrachteten Punktes
• r₀: der Außenradius des Rades
• φ: der Drehwinkel
• z: das Geschwindikeitsverhältnis der Fahrzeuge v₁ / v₂

Die Indizes sind dabei so vergeben, wie in der Unfallrekonstruktion zumeist üblich

• 1: stoßendes Fahrzeug (hier: zeichnendes Fahrzeug)
• 2: gestoßenes Fahrzeug (hier: Fahrzeug mit den Antragspuren)

Der Nullpunkt liegt bei obiger Formel im Radzentrum; legt man ihn auf die Fahrbahnoberfläche, ist bei der y-Koordinate r₀ zu addieren.

Abrollen unter Schlupf

Bewegt sich das zeichnende Rad unter Schlupf, etwa infolge einer ABS-Bremsung, so gilt

[math]\displaystyle{ \eta = \frac {v - \omega r_0}{v} }[/math]

bzw.

[math]\displaystyle{ v = \frac {\omega r_0}{1 - \eta} }[/math]

und für den Linearweg somit

[math]\displaystyle{ x_l = \frac 1 {1 - \eta} r_0 \varphi }[/math]

Die entscheidende Gleichung ist damit folgendermaßen zu modifizieren:

[math]\displaystyle{ x_{rel} = \frac 1 {1- \eta}(1 - 1/z) r_0 \varphi + r sin \varphi }[/math]

Radschlupf bewirkt also denselben Effekt wie eine Erhöhung des Geschwindigkeitsverhältnisses; man kann eine bestimmte Kombination aus Geschwindigkeitsverhältnis z₂; [math]\displaystyle{ \eta }[/math] damit auf ein äquivalentes Geschwindigkeitsverhältnis z₁ umrechnen:

[math]\displaystyle{ 1 - 1 / z_1 = \frac {1 - 1/z_2}{1-\eta} }[/math]

Nach kurzer Umformung ergibt sich

[math]\displaystyle{ z_1 = \frac {1-\eta}{1/z_2-\eta} }[/math]

Für [math]\displaystyle{ \eta = 0 }[/math] ergibt sich z₁ = z₂ und für die Kombination z₂ = 2 ; [math]\displaystyle{ \eta }[/math] = 0,1 ergibt sich z₁ = 2,25.

Umsetzung als AutoSketch-Makro

Anwendung des Makors

Das unten gelistete AutoSketch-Makro zeichnet Polylinien mit den Bewegungsbahnen der Punkte zwischen Radinnenradius und Radaußenradius, ähnlich wie dies im entsprechenden Modul von PC-Crash 8.0 geschieht. Die Makrosprache von AutoSketch 2.1 ähnelt BASIC, sodass das Makro in ähnlicher Form auch in anderen CAD-Umgebungen schnell umgesetzt werden kann.

Um das Makro in AutoSketch zu verwenden kopiert man die Befehle in einen Editor und speichert es in einer Datei mit der Enden MCR (macro). Dann kann es im Menü "Einstellungen" mit der entsprechenden Schaltfläche abgespielt werden. Im Bild sind die entscheidenden Punkte beim Ausführen des Makros markiert:

Vor dem Ausführen des Makros muss man zunächst den Nullpunkt (Ursprung) der gesamten Zeichnung auf den Radmittelpunkt legen. (= Oben links auf den Schnittpunkt der Lineale klicken und dann den Radmittelpunkt bezeichnen.)

Anschließend hängt das Fadenkreuz (der Cursor) an einem "Gummiband" an diesem Ursprung; und man klickt "ganz oben" auf den Radinnenkreis. Danach macht man nochmals dasselbe für den Radaußenkreis.

Danach erscheint das Dialogfeld Einfügebasis:

Für den Wert X gibt man das Geschwindigkeitsverhältnis z aus obiger Formel ein und für den Wert Y den Schlupf (Standardwert 0). Das Makro zeichnet dann die Radandrehspuren:

Das Makro zeichnet die Spuren standardmäßig von rechts nach links, wenn das zeichnende Fahrzeug schneller ist, so entspricht es der Orientierung der Fahrzeuge in den gängigen Symbolbibliotheken (in denen meist die Fahrerseite dargestellt ist). Diese Richtung kann ggf. durch Bearbeitung des Makro-Codes geändert werden, indem die Variable DIR (direction) auf 1 gesetzt wird.

Makro-Code

' AutoSketch 2.1 Makro zum Zeichnen von Radandrehspuren
' Der Nullpunkt der Zeichnung muss zuvor ins Radzentrum gelegt werden
'
' Fehlerschranke
eps = 0.0001
' Winkel-Inkrement
dphi = 0.1
' Endwinkel der Simulation in Radiant
Ende = 10 * /pi
' Umrechnungsfaktor in Radiant
deg = 57.52
' Anzahl der Streifen
Strips=5
' Richtung: -1 = von rechts nach links     
dir = -1.0
' Wert wird später restauriert
OldPD = /PICKDELTA 
'
' Radius des Randinnenrands
DrawLine   
Point 0,0
UserInput
rmin = /ly
Undo
'
' Radius des Radaußenrands
DrawLine
Point 0,0
UserInput
r0 = /ly
Undo
'
' Angabe des Geschwindigkeitsverhältnisses
Set INSBASEX 0
Set INSBASEY 0
SetPartBase
UserInput
z = /INSBASEX
eta = /INSBASEY
'
dr = (r0-rmin) / (Strips-1)
r = rmin
' Auswahlbox auf Null setzen, damit die Polylinien nicht
' versehentlich beendet werden
Set PICKDELTA 0
Repeat
  phi = 0
  DrawPolyLine
  Repeat
    x = dir * (r0*(1-1/z) * phi / (1 - eta) + r*sin(deg*phi))
    y = r*cos(deg*phi)
    Point x,y
    phi = phi + dphi
  until phi > ende
  Point /lpoint
  r = r + dr
until r > r0 + eps
'
' Wert restaurieren
Set PICKDELTA OldPD