Hinweise auf die Bedeutung der Fahrbahnquerneigung in der Unfallrekonstruktion
1986, p. 221 (#7)
Zitat
Schimmelpfennig, K.-H., Rennich, D. Hinweise auf die Bedeutung der Fahrbahnneigung in der Unfallrekonstruktion. Verkehrsunfall und Fahrzeugtechnik 24 (1986), pp. 221 – 223 (# 7/8)
Inhaltsangabe
Im ersten Teil des Beitrags wird der Einfluss der Fahrbahnquerneigung auf ein zunächst in Fahrbahnlängsrichtung rutschendes Objekt untersucht. Die Autoren stellen ein Differenzialgleichungssystem auf, das die Rutschbewegung in Fahrbahnlängs- und -querrichtung beschreibt. Diese Differenzialgleichungssystem kann unter der Annahme, dass der Bahnwinkel gegenüber der Fahrbahnlängsrichtung stets klein bleibt, analytisch gelöst werden. Die Autoren konzentrieren sich dabei vor allem auf den seitlichen Versatz in der Endlage, für den sich – bei Annahme Coulombscher Reibung – unter dieser Voraussetzung eine sehr einfache Beziehung ergibt.
Im zweiten Teil des Beitrags geht es dann vor allem um Anwendungsmöglichkeiten für die theoretisch abgeleitete Beziehung.
Ergänzung
Die Autoren versäumen es, vor der Lösung der DGLs den einfachsten aller Lösungsansätze vorzustellen, in dem man nämlich die Reibung in Querrichtung komplett vernachlässigt. In diesem Fall gilt
[math]\displaystyle{ \ddot y = g \, \sin \alpha }[/math]
und damit für die Endlage xe,ye
[math]\displaystyle{ \frac {y_e}{x_e} = \frac {g \, \sin \alpha} a }[/math]
das ist genau der doppelte Querversatz, wie er sich aus der Lösung der DGL ergibt.
Aufbauend auf diese Lösung lässt sich auch das Endergebnis aus dem Beitrag geschickter darstellen, indem man mit
[math]\displaystyle{ \dot x \equiv v_x = v_0 - a\,t }[/math]
einfach schreibt
[math]\displaystyle{ \frac a {g \sin \alpha} \,y(t) = {\frac12} v_x^2(t) \, \ln \frac{v_x(t)} {v_0} + {\frac12} a\,t\,v_x(t) + {\frac14} a\, t^2 }[/math]
Bei dieser Schreibweise ist es dann offensichtlich, dass sich im Falle vx = 0 (Endzustand) der Querversatz
[math]\displaystyle{ y_e = {\frac14} \, \frac {g \sin \alpha} a \, a\, t^2 = {\frac14} \, g \, \sin \alpha \, \left( \frac {v_0} a \right)^2 }[/math]
ergibt, wie es auch im Beitrag postuliert wird.
Details
Artikel wird die mathematische Beziehung zwischen dem seitlichen Versatz d, der Geschwindigkeit v, der Fahrbahnquerneigung α, der Rutschverzögerung a, dem Bremsweg s, dem Neigungswinkel γ und der Gesamtzeit (tG) für die Vereinfachung cos γ ≈ 1 (sin γ ≈ tan γ) aufgestellt:
[math]\displaystyle{
(1a).....m \cdot \ddot x = -F_x = -F \cdot \cos \gamma
}[/math]
[math]\displaystyle{
(1b).....m \cdot \ddot y = -F_y + F_A = -F \cdot \sin\gamma + F_A
}[/math]
[math]\displaystyle{
(2a).....F = m \cdot \mu \cdot g \cdot \cos \alpha
}[/math]
[math]\displaystyle{
(2b).....F_A = m \cdot g \cdot \sin \alpha
}[/math]
[math]\displaystyle{
(2c)..... \tan \gamma = \frac {\dot y}{\dot x}
}[/math]
[math]\displaystyle{
(3).....\sin \gamma = \tan \gamma = \gamma = \frac {\dot y}{\dot x}
}[/math]
[math]\displaystyle{
(4)..... \ddot y + a \cdot \frac {\dot y}{\dot x}- g \cdot \sin \alpha = 0
}[/math]
[math]\displaystyle{
(5).....\ddot x = v_x = v_0 - a \cdot t
}[/math]
[math]\displaystyle{
(6).....\ddot y = v_y = \left(1 - \frac {a \cdot t}{v_0} \right) \cdot \left [-g \cdot \sin \alpha \cdot \frac {v_0}{a} \cdot \ln \left (1 - \frac {a \cdot t}{v_0} \right) \right]
}[/math]
[math]\displaystyle{
(7).....x = v_0 \cdot t - \frac {1}{2} \cdot a \cdot t^2
}[/math]
[math]\displaystyle{
(8).....y = g \cdot \sin \alpha \cdot \frac {v_{0}^2}{4 \cdot a^2} + g \cdot \sin \alpha \cdot \frac {v_{0}^2}{a^2} \cdot \left (1 - \frac {a \cdot t}{v_0} \right) \cdot \left [ \left (1 - \frac {a \cdot t}{v_0} \right ) \cdot \ln \left (1 - \frac {a \cdot t}{v_0} \right ) - \frac {1}{2} \right ]
}[/math]
[math]\displaystyle{
(9).....d = g \cdot \left (\frac {v}{2 \cdot a} \right)^2 \cdot \sin \alpha
}[/math]
[math]\displaystyle{
(10).....tan \gamma =\frac {g \cdot \sin \alpha}{a} \cdot ln \left ( \frac {1}{1 - \frac {t}{t_G}} \right)
}[/math]
[math]\displaystyle{
(11).....d = g \cdot \sin \alpha \cdot \frac {s}{2 \cdot a}
}[/math]
[math]\displaystyle{
(12).....a = \frac {s \cdot g \cdot \sin \alpha}{2 \cdot d}
}[/math]
Weitere Beiträge zum Thema im VuF
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- 1999 #2 Deviation of the Path of a Sliding Object due to Road Camber