Zur Berücksichtigung von Bremskräften beim eindimensionalen Stoß

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2024, p. 265 (#7)


Der Aufsatz stellt ein einfaches analytisches Verfahren zur Berücksichtigung der Reifenkräfte beim eindimensionalen Stoß vor. Der gewohnte Parametersatz wird dabei um die Bremsverzögerungen und die Stoßdauer erweitert. Anschließend werden Impuls- und Energiesatz analytisch gelöst, um die Kollisionsgeschwindigkeit des Stoßenden und insbesondere auch die kollisionsbedingte Geschwindigkeitsänderung des Gestoßenen zu erhalten. Das übersichtliche Formelwerk lässt sich problemlos mittels Tabellenkalkulation umsetzen.


A procedure to account for the effects of braking forces during one-dimensional impacts
The paper presents a simple analytical method to account for tyre forces in one-dimensional collisions. The usual parameter set is extended by the decelerations of the vehicles and the duration of the impact. Based on this data, the momentum and energy balances can be solved analytically, yielding the collision speed of the bullet vehicle and the speed change of the target vehicle. The simple set of equations can easily be implemented by means of a spreadsheet.


Zitat

Hugemann, W.: Zur Berücksichtigung von Bremskräften beim eindimensionalen Stoß. Verkehrsunfall und Fahrzeugtechnik 62 (2024), pp. 265 – 274 (#7)

Inhaltsangabe

Anmerkungen

Unter Datei:Kollision mit Reifenkräften.zip findet sich eine Excel-Arbeitsmappe, welche die effektive Kollisionsgeschwindigkeit V und die kollisionsbedingten Geschwindigkeitsänderungen Δvi der Fahrzeuge nach dem vorgestellten Verfahren berechnet, also unter Berücksichtigung des Kraftstoßes durch die Bremskräfte.

Errata

In der mittleren Spalte auf der zweiten Seite (S. 266) muss es beim zweiten Aufzählungspunkt »gebremst« heißen, wie sich auch aus dem Vergleich mit dem Diagramm Bild 1 ergibt.

In der zweiten Gl. (13) muss es im Zähler m2 statt m1 heißen, also

[math]\displaystyle{ v' = v_1' + \frac {m_2} {m_1 + m_2} V' }[/math]

Gl. (20)

Die Beziehung

[math]\displaystyle{ V^2-V_0^2=(a_1-a_2)T(V-V') }[/math]

ist korrekt. Zur Begründung heißt es im anschließenden Text

Wenn ein Teil der kinetischen Energie des Stoßenden während der Kollision durch Reibung aufgezehrt wird, dann braucht es entsprechend mehr Eingangsenergie, um dieselbe Verformungsintensität zu verursachen.

So einfach kann es jedoch nicht sein, denn diese Argumentation würde ja auch greifen, wenn einzig der Gestoßene gebremst wäre; dann jedoch ergibt sich genau das umgekehrte Ergebnis. Die korrekte Begründung ist daher etwas komplizierter:

Im reibungsfreien Fall betrachtet man die Energiebilanz am besten im Schwerpunktsystem. Dort ergibt sich die gewohnte Beziehung

[math]\displaystyle{ V^2 - V'^2 = V_e^2 }[/math]

im Endeffekt daraus, dass die Schwerpunktgeschwindigkeit konstant bleibt und deshalb im Schwerpunktsystem in der Energiebilanz gar nicht auftaucht. Entsprechend wird die Energiebilanz nur von den Differenzgeschwindigkeiten vor und nach der Kollision bestimmt.

Im reibungsbehafteten Fall können wir die Energiebilanz in zwei Anteile splitten, nämlich

  • den »gewohnten« Anteil, der auf der Änderung der Diffenzgeschwindigkeit beruht
  • einen »neuen« Anteil, der auf dem Verlust von Systemgeschwindigkeit (Schwerpunktgeschwindigkeit des Gesamtsystems) beruht

Die Reibarbeit beträgt gemäß Gl. (9)

[math]\displaystyle{ 2\, W_r = [m_1 a_1 (v_1+v_1') + m_2 a_2 (v_2+ v_2')] T }[/math]

und die Energieänderung durch Verlust an Systemgeschwindigkeit beträgt

[math]\displaystyle{ 2 \,dE = (v + v') P_{ex} = \frac {m_1 v_1+ m_2 v_2 + m_1 v_1' + m_2 v_2'}{m_1+m_2} (m_1 a_1+ m_2 a_2) T }[/math]

Die Differenz [math]\displaystyle{ dE -W_r }[/math] beschreibt dann denjenigen Anteil, der zusätzlich zum »Gewohnten« in Verformungsarbeit umgewandelt wird. Nach kurzer Rechnung (in Maxima) ergibt sich

[math]\displaystyle{ \frac{2 (dE - W_r)} M = (a_1 - a_2) T (V - V') }[/math]

Das ist exakt der Term aus Gl. (20).

Für die insgesamt geleistete Verformungsarbeit macht es also einen Unterschied, welches Fahrzeug von beiden gebremst ist:

  • Ist der Stoßende gebremst, fließt weniger Energie in die Verformung.
  • Ist der Gestoßene gebremst, fließt mehr Energie in die Verformung.

Gln. (21) ... (23)

Gl. (21) leitet man einfacher aus Gl. (20) her, indem man [math]\displaystyle{ V-V' }[/math] durch [math]\displaystyle{ (1- \varepsilon) V }[/math] ersetzt. Dann gelangt man sofort auf:

[math]\displaystyle{ V^2 -V_0^2 = (a_1 - a_2) T (1-\varepsilon)V }[/math]

bzw.:

[math]\displaystyle{ V^2 - (a_1 - a_2) T (1-\varepsilon) V -V_0^2 = 0 }[/math]

was sich leicht von Gl. (22) unterscheidet, denn:

[math]\displaystyle{ 1-\varepsilon \neq \frac 1 {1 + \varepsilon} = 1 - \varepsilon + \varepsilon^2 + ... }[/math]

Der geringe Unterschied (Effekt zweiter Ordnung in [math]\displaystyle{ \varepsilon }[/math]) beruht darauf, dass Gl. (23) implizit den kinematischen Stoßfaktor für den reibungsfreien Fall verwendet, sodass man korrekterweise:

[math]\displaystyle{ V_0^2 = \frac 1 {1 - \varepsilon_0^2} V_{\mathrm e}^2 }[/math]

schreiben müsste und nicht zwangsläufig [math]\displaystyle{ \varepsilon = \varepsilon_0 }[/math] gilt. Die obige, einfachere Herleitung verwendet also eine Annahme weniger.

Der Unterschied zwischen den beiden Lösungen für [math]\displaystyle{ V }[/math] wird nicht nur von [math]\displaystyle{ \varepsilon }[/math], sondern auch von der relativen Größe der Terme [math]\displaystyle{ (a_1 - a_2) T }[/math] (<3 km/h) und [math]\displaystyle{ V_0 }[/math] (im biomechanisch interessanten Bereich > 15 km/h) bestimmt und beträgt in der Praxis auch für große Werte von [math]\displaystyle{ \varepsilon }[/math] (maximal ca. 0,35) allenfalls 0,2 km/h.

Beiträge zum Thema im VuF

Weitere Infos zum Thema

Siehe auch

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