Das ± Problem des EES-Verfahrens

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1985, p. 241 (#9)

Zitat

Schimmelpfennig, K.-H.; Hebing, N.: Das ± Problem des EES-Verfahrens. Verkehrsunfall und Fahrzeugtechnik 23 (1985), pp. 241 – 243 (# 9)

Inhaltsangabe

Die quadratische Gleichung, die es beim EES-Verfahren zu lösen gilt, lässt formal zwei Lösungen der Form

[math]\displaystyle{ v_{1,2} = - \frac p 2 \pm \sqrt {\frac {p^2} 4 - q} }[/math]

zu, von denen in den Originalveröffentlichungen (die hauptsächlich auf Gegenverkehrsunfälle gemünzt waren) diejenige Lösung gewählt wurde, in der der Wurzelterm addiert wird.

In der Folge wurde das EES-Verfahren aber im großen Stil auch auf andere Unfalltypen angewendet und dabei erwies sich, dass sich die »richtige« Losung in bestimmten Fällen durch die Subtraktion des Wurzelterms ergibt. Die Autoren versuchen, Entscheidungshilfen für die richtige Wahl der Lösung zu geben, indem sie das Problem grafisch illustrieren und lösen.

Lösungsgedanke

Bei allen Veröffentlichungen, an denen Hebing maßgeblich beteiligt war, wird es einem nicht eben leicht gemacht, die Grundidee nachzuvollziehen; so ist es auch hier. Deshalb im Folgenden einige ergänzende Erläuterungen dazu.

Wie beim EES-Verfahren wird hier ein an der Einlaufrichtung von Fahrzeug 1 ausgerichtetes, erdfestes Koordinatensystem verwendet. In diesem ist der Systemzustand nach der Kollision bekannt, sprich

  • die Auslaufimpulse [math]\displaystyle{ \, I'_1 }[/math] und [math]\displaystyle{ \, I'_2 }[/math]
  • der kollisionsbedingte Verlust an kinetischer Energie (obwohl die Autoren dies nicht so sagen)

Für den Impulssatz in x-Richtung ergibt sich

(1)... [math]\displaystyle{ I_{1x} + I_{2x} \,= I_x }[/math]

und der Energiesatz lautet

(2)... [math]\displaystyle{ \frac {I_{1x}^2} {m_1} + \frac {I_{2x}^2} {m_2} + \frac {I_{2y}^2} {m_2}= E }[/math]

mit E und I1y als bekannt, sodass man zu

(3)... [math]\displaystyle{ \frac {I_{1x}^2} {m_1} + \frac {I_{2x}^2} {m_2} = E - \frac {I_{2y}^2} {m_2} = \mathrm{const.} }[/math]

umformen kann. Der Autor zeichnet nun ein I1x-I2x-Diagramm, in dem er die Gerade Gl.(1) und die Ellipse Gl.(3) zum Schnitt bringt. Zwischen der Geraden und der Ellipse gibt es stets zwei Schnittpunkte, die den beiden formalen Lösungen entsprechen. Durch die Festlegung I1x > 0 lässt sich eine der Lösungen in etlichen Fällen per se ausschließen (wie dies in den ursprünglichen Veröffentlichungen getan wurde).

Sind beide Lösungen für I1x positiv, so unterscheiden sich meist die Lösungen für I2x im Vorzeichen. In diesen Fällen kann die Entscheidung anhand der bekannten Einlauf- und Fahrtrichtungen getroffen werden.

In wenigen Fällen sind allerdings beide Lösungen für beide Geschwindigkeiten positiv. In diesem Fall entscheidet sich die Frage nach der richtigen Lösung daran, welches Fahrzeug in x-Richtung Überschussgeschwindigkeit hat. (Was die Autoren auch so klar nicht sagen.)

Hinweise

Auf Seite 241 heißt es in der rechten Spalte:

[math]\displaystyle{ I_x }[/math] kann im Verhältnis zu [math]\displaystyle{ E_x }[/math] nur solche Werte annehmen, daß die aus Gleichung (1) resultierende Gerade zwischen den Tangenten liegt, die die Ellipse in den Punkten C bzw. C' berühren. Für diese Punkte gilt: [math]\displaystyle{ v_{1x} = v_{2x} }[/math].Das läßt sich leicht zeigen, wenn der Ausdruck unter der Wurzel in Gleichung (5) gleich 0 gesetzt wird.

Das ist zwar korrekt, doch etwas stark verkürzt: An den Tangentenpunkten muss der Wurzelterm zu Null werden; nur dann ergibt sich eine einzige Lösung der Gleichung. In diesem Fall verkürzt sich Gl. (5) auf den linearen Zusammenhang:

[math]\displaystyle{ I_{1x} = \frac {m_1}{m_1+m_2}I_x }[/math]

also:

[math]\displaystyle{ v_{1x}=\frac {I_{1x}}{m_1} = \frac {I_x}{m_1+m_2} = v_x }[/math]

Das wiederum kann nur der Fall sein, wenn auch auch [math]\displaystyle{ x_{2x} =v_x }[/math] ist und somit [math]\displaystyle{ v_{1x} = v_{2x} }[/math].

Kommentar

Die grafische Betrachtung bringt schon etwas Licht ins Dunkel dieser Frage. Tatsächlich kann die Frage in etlichen Fällen formalistisch entschieden werden. Der Autor scheint die wahre Natur des Problems im formal unentscheidbaren Szenario jedoch nicht zu erkennen: Hier sind auf Grundlage der Erhaltungssätze eben zwei Lösungen möglich, nämlich der elastische und der streifende Stoß.

Welche die richtige ist, muss der Unfallanalytiker anhand der Schadenausprägung entscheiden, also anhand zusätzlicher Information, die letztlich etwas über das Kraftgesetz aussagt. Dieser Gedanke klingt – bei der Entscheidung an der Überschussgeschwindigkeit – hier jedoch allenfalls an.

Errata

Die Klammern unter der Wurzel in Gl. (5) sind falsch; nur der erste Term wird mit 2 multipliziert. Richtig muss es heißen:

[math]\displaystyle{ I_{1x} = \frac {m_1} {m_1 + m_2} \left[ I_x \pm \sqrt{2\frac {m_2}{m_1}(m_1+m_2)E_x-\frac {m_2}{m_1}I_x^2} \right] }[/math]

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